泰勒中值定理的经典证明题

2020-04-02 11:47:49

这个系列文章讲解高等数学的基础内容,注重学习方法的培养,对初学者粲茸锿枋不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释,尽可能与高中数学衔接叵萤茆暴(高等数学课程需要用到一些高中数学中不太重要的内容,如极坐标,我们会在用到时加以补充介绍)。并适当舍去了一些难度较大或高等数学课程不作过多要求的内容(例如用ε-δ语言证明极限,以及教材中部分定理的证明)。 本系列文章适合作为初学高等数学的课堂同步辅导,高数期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。其中涉及的例题大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题,难度适中,并选取了一些考研数学中的经典题目。 本系列上一篇见下面的“经验引用”:

高等数学基础知识

概述。 泰勒公式在高等数学中经常用来处理一些“疑难问题”,就像在用洛必嚼秒躞句达法则等常规方法难以解决的求极限问题中使用泰勒公式一样,在中值定理的证明题中,有些难度较坂桎搦矍大的问题通常要求用较少的条件证明f(x)高阶导数的中值性质,此类问题用常规的三种中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理)通常难以解决,此时就是泰勒中值定理“大展身手”的时候。本节我们介绍两个关于泰勒中值定理的经典证明题。

一个经典题目(考研题)。

例1的解答。

对例1的评注。关于导函数介值性的介绍见下文:

在“中间点”处展开泰勒公式。

例2的解答与评注。用有限增量公式对例2的解答见下文:

对泰勒中值定理证明题的总结及学习方法建议。

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